Soal perbandingan kuantitatif, yang sering disebut soal hubungan X dan Y, memberi dua besaran lalu meminta Anda menentukan mana yang lebih besar. Kadang X dan Y berupa angka biasa, kadang berupa bentuk aljabar dengan syarat tertentu, misalnya "p bilangan positif" atau "0 < a < 1". Pilihan jawabannya hampir selalu berpola sama, sehingga yang membedakan peserta bukan hafalan rumus, tetapi ketelitian membaca syarat.

Pola pilihan yang umum dipakai adalah sebagai berikut.

Opsi	Isi	Kapan dipilih
A	X > Y	X lebih besar untuk semua nilai yang diizinkan soal
B	X < Y	X lebih kecil untuk semua nilai yang diizinkan soal
C	X = Y	X dan Y selalu sama
D	Hubungan khusus, misalnya X = 2Y atau 2X = 3Y	Hubungan itu tepat berlaku untuk semua nilai yang diizinkan
E	Hubungan X dan Y tidak dapat ditentukan	Hasil perbandingan berubah tergantung nilai yang dipilih

Kata kunci di tabel itu adalah semua nilai yang diizinkan. Kalau ada satu saja nilai yang membuat hubungan berbeda, opsi A, B, atau C gugur dan jawabannya E. Materi ini membahas cara menyederhanakan X dan Y, cara menguji angka dengan benar, dan jebakan yang paling sering muncul.

Kenapa jangan langsung menghitung

Kesalahan yang paling sering adalah menghitung X dan Y sampai angka terakhir. Cara itu memang bisa benar, tetapi memakan waktu dan membuka peluang salah hitung. Soal jenis ini biasanya disusun supaya bisa diselesaikan dengan penyederhanaan.

Ada dua pertanyaan yang sebaiknya Anda ajukan sebelum menghitung. Pertama, apakah X dan Y punya bagian yang sama sehingga bisa dicoret? Kedua, apakah ada rumus aljabar yang membuat bentuk panjang menjadi pendek?

Mencoret bagian yang sama

Kalau X dan Y sama-sama mengandung suku yang sama, suku itu tidak memengaruhi perbandingan. Anda cukup membandingkan sisanya.

X = 487 + 3/5
Y = 487 + 5/8

Coret 487 di kedua sisi.
Bandingkan 3/5 dan 5/8 dengan perkalian silang:
3 × 8 = 24
5 × 5 = 25
24 < 25, jadi 3/5 < 5/8
Maka X < Y

Perkalian silang aman dipakai untuk membandingkan dua pecahan positif. Kalikan pembilang kiri dengan penyebut kanan, dan pembilang kanan dengan penyebut kiri, lalu bandingkan hasilnya.

Memakai rumus selisih dua kuadrat

Bentuk a² - b² selalu sama dengan (a - b)(a + b). Rumus ini sangat berguna ketika angkanya besar dan berdekatan.

Misalnya X = 2024² - 2023² dan Y = 4047. Mengkuadratkan 2024 memakan waktu. Dengan rumus tadi, hitungannya menjadi pendek.

X = (2024 - 2023)(2024 + 2023)
X = 1 × 4047
X = 4047
Y = 4047
Maka X = Y

Memakai selisih X - Y

Kalau X dan Y berbentuk aljabar, hitung X - Y. Jika hasilnya pasti positif, X > Y. Jika pasti negatif, X < Y. Jika pasti nol, X = Y. Jika tandanya bisa berubah, hubungannya tidak dapat ditentukan.

X = (k + 2)²
Y = k² + 4k

X = k² + 4k + 4
X - Y = 4
Karena 4 selalu positif, X > Y untuk semua k

Tips
Cara selisih ini berlaku untuk semua bilangan real, termasuk negatif dan pecahan. Karena itu cara ini lebih kuat daripada mencoba-coba angka.

Sifat bilangan yang sering dijadikan jebakan

Banyak soal X dan Y sebenarnya menguji satu hal: apakah Anda tahu bahwa sifat bilangan berubah tergantung letaknya di garis bilangan.

Bilangan di antara 0 dan 1

Banyak peserta mengira bilangan yang dikuadratkan pasti membesar. Itu hanya benar untuk bilangan lebih dari 1. Untuk bilangan di antara 0 dan 1, pemangkatan justru mengecilkan, dan akar justru membesarkan.

Ambil x = 1/4
x² = 1/16 = 0,0625
x  = 0,25
√x = 1/2 = 0,5
Urutannya: x² < x < √x

Letak x	Urutan x², x, √x
x > 1	√x < x < x²
x = 1	Ketiganya sama dengan 1
0 < x < 1	x² < x < √x
x = 0	Ketiganya sama dengan 0

Awas jebakan
Kalau soal menulis "0 < a < 1", urutan pangkatnya terbalik: a³ < a² < a < √a. Peserta yang terbiasa dengan bilangan bulat sering memilih jawaban yang berlawanan.

Bilangan negatif dan nol

Kalau soal tidak menyebut bahwa variabel positif, Anda wajib memikirkan nilai nol dan negatif. Bilangan negatif membalik banyak kebiasaan. Contohnya, n³ lebih besar dari n² untuk n = 2, tetapi lebih kecil untuk n = -2.

n = 2  -> n² = 4, n³ = 8,  jadi n² < n³
n = 0  -> n² = 0, n³ = 0,  jadi n² = n³
n = -2 -> n² = 4, n³ = -8, jadi n² > n³

Tiga hasil berbeda dari tiga nilai n. Kalau syarat soal hanya "n bilangan bulat", hubungan n² dan n³ tidak dapat ditentukan.

Akar kuadrat dan persamaan kuadrat

Dua bentuk ini mirip, tetapi artinya berbeda. Ini sumber kesalahan yang paling sering di soal X dan Y.

Simbol akar (√) menurut kesepakatan matematika selalu menghasilkan satu nilai yang tidak negatif. Jadi √16 = 4, bukan ±4. Sebaliknya, persamaan x² = 16 menanyakan bilangan apa yang jika dikuadratkan menghasilkan 16. Jawabannya ada dua, yaitu 4 dan -4.

Bentuk	Nilai	Banyak nilai
X = √25	5	Satu
y² = 25	5 atau -5	Dua

Jadi kalau X = √25 dan y² = 25, maka X pasti 5, sedangkan y bisa 5 atau -5. Untuk y = 5, X = y. Untuk y = -5, X > y. Karena hasilnya berbeda, hubungan X dan y tidak dapat ditentukan.

Awas jebakan
Bedakan "y² = 25" dengan "y = √25". Yang pertama punya dua nilai, yang kedua hanya satu. Bacalah tanda akar dan tanda kuadrat dengan teliti sebelum menyimpulkan.

Cara menguji angka dengan benar

Menguji angka berarti memasukkan beberapa nilai ke X dan Y lalu melihat hasilnya. Cara ini cepat, tetapi punya aturan yang harus dipatuhi.

Angka yang perlu dicoba

Pilih angka dari setiap kelompok yang diizinkan soal. Kalau soal hanya bilang "x bilangan real", cobalah:

bilangan positif lebih dari 1, misalnya 2,
bilangan di antara 0 dan 1, misalnya 1/2,
nol,
bilangan negatif, misalnya -2.

Kalau soal bilang "x bilangan bulat positif", Anda cukup mencoba 1 dan 2, karena pecahan, nol, dan negatif tidak diizinkan. Angka 1 sering istimewa karena 1² = 1, jadi jangan dilewatkan.

Kapan cara uji angka tidak bisa dipakai

Uji angka bisa membuktikan bahwa jawabannya E, tetapi tidak bisa membuktikan bahwa jawabannya A, B, atau C. Kalau dua angka memberi hasil berbeda, Anda sudah pasti benar memilih E. Namun kalau lima angka semuanya memberi X > Y, itu belum menjamin X > Y untuk semua nilai. Bisa saja ada angka keenam yang membalik hasilnya.

Karena itu, kalau semua angka uji memberi hasil yang sama, kuatkan dengan alasan umum: hitung X - Y, coret bagian yang sama, atau pakai sifat bilangan. Uji angka juga tidak cocok untuk soal tanpa variabel, misalnya X = 25% dari 80. Soal seperti itu cukup dihitung atau disederhanakan.

Catatan
Urutan kerja yang aman: baca syarat variabel, coba sederhanakan X dan Y, hitung X - Y kalau bentuknya aljabar, lalu uji angka kritis untuk memastikan tidak ada pengecualian.

Memeriksa opsi D

Opsi D biasanya berisi hubungan seperti X = 2Y atau 2X = 3Y. Opsi ini sering dilewati, padahal kadang justru kuncinya. Cara memeriksanya sederhana: hitung X dibagi Y. Jika hasilnya selalu angka tetap yang sama dengan opsi D, opsi D benar.

X = 3/4 dari 120 = 90
Y = 45
X ÷ Y = 90 ÷ 45 = 2
Maka X = 2Y

Dalam contoh itu, X > Y juga benar. Soal yang baik tidak akan memasang kedua opsi itu sekaligus, karena jawabannya jadi ganda. Kalau Anda menemukan dua opsi yang sama-sama benar, periksa ulang hitungan, karena besar kemungkinan ada yang terlewat.

Contoh dikerjakan langkah demi langkah

Sebelum masuk latihan, perhatikan satu contoh yang memakai semua langkah tadi.

Diketahui t bilangan real dengan t ≠ 0. X = t² + 1 dan Y = 2t. Bagaimana hubungan X dan Y?

Langkah pertama, baca syarat: t boleh positif atau negatif, asal bukan nol. Langkah kedua, hitung selisihnya.

X - Y = t² + 1 - 2t
X - Y = t² - 2t + 1
X - Y = (t - 1)²

Bentuk (t - 1)² tidak pernah negatif. Nilainya nol hanya saat t = 1, dan positif untuk t lainnya. Jadi X - Y ≥ 0, artinya X bisa sama dengan Y (saat t = 1) atau lebih besar dari Y (saat t ≠ 1). Karena ada dua kemungkinan hubungan, jawabannya tidak dapat ditentukan, kecuali opsi yang tersedia memuat "X ≥ Y".

Contoh ini menunjukkan kenapa uji angka saja berbahaya. Kalau Anda hanya mencoba t = 2 dan t = -1, hasilnya X > Y dua kali, dan Anda akan memilih A. Padahal t = 1 membuat X = Y.

Jebakan yang sering muncul

Jebakan	Contoh	Yang benar
Menganggap kuadrat selalu membesar	(1/2)² dianggap lebih besar dari 1/2	Untuk 0 < x < 1, x² < x
Menganggap akar punya dua nilai	√9 = ±3	√9 = 3
Lupa nilai negatif pada persamaan kuadrat	x² = 9 dianggap hanya x = 3	x = 3 atau x = -3
Lupa angka 0 dan 1	Hanya mencoba x = 2 dan x = 3	0 dan 1 sering membuat X = Y
Mengurangkan bilangan negatif	m - n dianggap lebih kecil dari m untuk n < 0	m - n = m + (-n), jadi lebih besar dari m
Membalik arah pada pecahan berpembilang sama	36/324 dianggap lebih besar dari 36/320 karena 324 lebih besar	Pembilang sama, penyebut lebih kecil berarti nilai lebih besar

Contoh soal

Soal 1
Diketahui X = 1/16 + 1/20 dan Y = 1/18 + 1/18. Hubungan yang benar antara X dan Y adalah...

A. X > Y
B. X < Y
C. X = Y
D. 2X = Y
E. Hubungan X dan Y tidak dapat ditentukan

Lihat jawaban dan pembahasan

Jawaban: A

Pembahasan: Jumlahkan pecahan dengan menyamakan penyebut, lalu bandingkan.

X = 1/16 + 1/20 = (20 + 16) / (16 × 20) = 36/320
Y = 1/18 + 1/18 = (18 + 18) / (18 × 18) = 36/324

Pembilang keduanya sama, yaitu 36. Jika pembilang sama, pecahan dengan penyebut lebih kecil bernilai lebih besar. Karena 320 < 324, maka 36/320 > 36/324, jadi X > Y.

B salah. Ini hasil dari anggapan bahwa penyebut lebih besar berarti nilai lebih besar.
C salah. Peserta yang hanya melihat bahwa 16 + 20 = 18 + 18 = 36 sering mengira hasilnya sama, padahal yang dijumlahkan adalah pecahannya, bukan penyebutnya.
D salah karena X dan Y hampir sama besar, jadi Y tidak mungkin dua kali X.
E salah karena X dan Y berupa angka tetap, sehingga hubungannya pasti dapat ditentukan.

Soal 2
Jika a = 2b dan b bilangan bulat positif, dengan X = (a + b)² dan Y = a² + b², maka hubungan yang benar adalah...

A. X > Y
B. X < Y
C. X = Y
D. X = 2Y
E. Hubungan X dan Y tidak dapat ditentukan

Lihat jawaban dan pembahasan

Jawaban: A

Pembahasan: Jabarkan X, lalu hitung selisihnya dengan Y.

X = (a + b)² = a² + 2ab + b²
Y = a² + b²
X - Y = 2ab
Dengan a = 2b:
2ab = 2 × 2b × b = 4b²

Karena b bilangan bulat positif, 4b² selalu positif. Jadi X - Y > 0 dan X > Y.

B salah karena selisih X - Y tidak pernah negatif untuk b positif.
C salah. Ini hasil dari kesalahan umum menganggap (a + b)² = a² + b², yaitu melupakan suku tengah 2ab.
D salah. Dengan a = 2b, X = (3b)² = 9b² dan Y = 4b² + b² = 5b². Nilai 2Y adalah 10b², bukan 9b². Opsi ini menjebak peserta yang hanya memperkirakan "X sekitar dua kali Y".
E salah karena syarat b positif sudah menjamin tanda selisihnya.

Soal 3
Diketahui x² = 49 dan y = √49. Hubungan yang benar antara x dan y adalah...

A. x > y
B. x < y
C. x = y
D. x + y = 0
E. Hubungan x dan y tidak dapat ditentukan

Lihat jawaban dan pembahasan

Jawaban: E

Pembahasan: Bedakan akar kuadrat dengan persamaan kuadrat.

y = √49 = 7          (satu nilai)
x² = 49 -> x = 7 atau x = -7

Jika x = 7, maka x = y. Jika x = -7, maka x < y. Dua kemungkinan ini berbeda, jadi hubungannya tidak dapat ditentukan.

A salah karena tidak ada nilai x yang lebih besar dari 7.
B salah karena hanya berlaku saat x = -7. Peserta yang hanya ingat nilai negatif akan memilih ini.
C salah karena hanya berlaku saat x = 7. Ini pilihan peserta yang lupa x² = 49 punya dua penyelesaian.
D salah karena x + y = 0 hanya berlaku saat x = -7. Saat x = 7, jumlahnya 14.

Soal 4
Jika 0 < p < 1, dengan X = p² dan Y = √p, maka hubungan yang benar adalah...

A. X > Y
B. X < Y
C. X = Y
D. X = Y²
E. Hubungan X dan Y tidak dapat ditentukan

Lihat jawaban dan pembahasan

Jawaban: B

Pembahasan: Pada rentang 0 < p < 1, berlaku p² < p < √p. Jadi X < Y. Untuk memastikan, uji dengan p = 1/4.

X = (1/4)² = 1/16 = 0,0625
Y = √(1/4) = 1/2 = 0,5
0,0625 < 0,5

Alasan umumnya: p² < p karena p dikali bilangan yang kurang dari 1, dan p < √p karena √p dikuadratkan sama dengan p. Karena urutan ini berlaku untuk semua p di rentang itu, hasilnya pasti.

A salah. Ini kebiasaan dari bilangan lebih dari 1, di mana kuadrat lebih besar dari akar.
C salah karena X = Y hanya terjadi saat p = 0 atau p = 1, dan keduanya tidak termasuk rentang soal.
D salah karena Y² = p, sedangkan X = p². Peserta yang keliru menganggap "akar lalu dikuadratkan" sama dengan p² akan memilih ini.
E salah karena urutannya tetap untuk semua p di antara 0 dan 1.

Soal 5
Diketahui rata-rata dari empat bilangan positif p, q, r, s adalah 20. Jika X = (p + q + r + s) / 2 dan Y = 40, maka hubungan yang benar adalah...

A. X > Y
B. X < Y
C. X = Y
D. X = 2Y
E. Hubungan X dan Y tidak dapat ditentukan

Lihat jawaban dan pembahasan

Jawaban: C

Pembahasan: Ubah rata-rata menjadi jumlah.

(p + q + r + s) / 4 = 20
p + q + r + s = 80
X = 80 / 2 = 40
Y = 40

Jadi X = Y.

A salah karena X tidak lebih dari 40.
B salah. Peserta yang langsung memakai rata-rata 20 sebagai X akan mendapat X < Y.
D salah. Peserta yang lupa membagi dua dan memakai jumlah 80 sebagai X akan mendapat X = 80 = 2Y.
E salah. Meski nilai p, q, r, s masing-masing tidak diketahui, jumlahnya pasti 80.

Soal 6
Jika x adalah 25% dari 80 dan y adalah 80% dari 25, maka hubungan yang benar adalah...

A. x > y
B. x < y
C. x = y
D. x = 10y
E. Hubungan x dan y tidak dapat ditentukan

Lihat jawaban dan pembahasan

Jawaban: C

Pembahasan: a% dari b selalu sama dengan b% dari a, karena keduanya sama dengan a × b / 100.

x = 25 × 80 / 100 = 2000 / 100 = 20
y = 80 × 25 / 100 = 2000 / 100 = 20

Jadi x = y.

A salah. Peserta yang menganggap "persen lebih besar pasti menghasilkan lebih besar" berpikir 80% pasti mengalahkan 25%, tetapi lupa angka dasarnya juga ditukar.
B salah dengan alasan yang serupa, hanya dibalik: angka dasar 80 dianggap lebih menentukan.
D salah. Peserta yang salah menulis 80% sebagai 0,08 akan mendapat y = 0,08 × 25 = 2, sehingga x = 20 terlihat sepuluh kali y. Yang benar 80% = 0,8.
E salah karena kedua nilai berupa angka pasti.

Soal 7
Diketahui m dan n bilangan bulat dengan m > 0 dan n < 0. Jika X = m - n dan Y = n - m, maka hubungan yang benar adalah...

A. X > Y
B. X < Y
C. X = Y
D. X < m
E. Hubungan X dan Y tidak dapat ditentukan

Lihat jawaban dan pembahasan

Jawaban: A

Pembahasan: Perhatikan tanda tiap bilangan. Karena n negatif, -n positif.

X = m - n = m + (-n)  -> positif + positif = positif
Y = n - m = n + (-m)  -> negatif + negatif = negatif
Contoh m = 3, n = -2:
X = 3 - (-2) = 5
Y = -2 - 3 = -5

Bilangan positif selalu lebih besar dari bilangan negatif, jadi X > Y. Perhatikan juga bahwa Y = -X.

B salah karena bilangan positif tidak mungkin lebih kecil dari bilangan negatif.
C salah karena X = Y hanya terjadi saat m = n, padahal m positif dan n negatif.
D salah. Ini jebakan bagi peserta yang lupa bahwa mengurangi bilangan negatif sama dengan menambah. Karena -n positif, X = m + (-n) justru lebih besar dari m. Pada contoh di atas, X = 5 dan m = 3.
E salah karena tanda X dan Y sudah pasti dari syarat soal.

Soal 8
Jika a = b + 3 dan b sembarang bilangan real, dengan X = (a - b)³ dan Y = (b - a)², maka hubungan yang benar adalah...

A. X > Y
B. X < Y
C. X = Y
D. Y = 3X
E. Hubungan X dan Y tidak dapat ditentukan

Lihat jawaban dan pembahasan

Jawaban: A

Pembahasan: Yang dibutuhkan hanya selisih a dan b, bukan nilai b.

a - b = 3
b - a = -3
X = 3³ = 27
Y = (-3)² = 9
27 > 9

X dan Y tidak bergantung pada b, jadi X > Y selalu berlaku. Perhatikan bahwa X = 3Y, tetapi hubungan itu tidak ada di pilihan.

B salah. Peserta yang mengira (b - a)² tetap bernilai -9, lalu membandingkan dengan pangkat tiga yang juga dianggap negatif, bisa sampai pada hasil ini. Padahal kuadrat bilangan negatif selalu positif.
C salah. Ini hasil dari anggapan bahwa (a - b) dan (b - a) memberi hasil yang sama sehingga X dan Y dianggap setara, tanpa memperhatikan pangkatnya berbeda.
D salah. Yang benar X = 3Y. Opsi ini menjebak peserta yang tahu ada faktor 3 tetapi membalik arahnya.
E salah. Kata "sembarang bilangan real" membuat peserta mengira hasilnya berubah, padahal b hilang saat dihitung selisihnya.

Soal 9
Diketahui x bilangan positif. Jika X = x / (x + 1) dan Y = (x + 1) / (x + 2), maka hubungan yang benar adalah...

A. X > Y
B. X < Y
C. X = Y
D. Y = X + 1
E. Hubungan X dan Y tidak dapat ditentukan

Lihat jawaban dan pembahasan

Jawaban: B

Pembahasan: Bandingkan dua pecahan positif dengan perkalian silang.

Pembilang X × penyebut Y = x(x + 2) = x² + 2x
Pembilang Y × penyebut X = (x + 1)² = x² + 2x + 1
x² + 2x < x² + 2x + 1
Maka X < Y

Selisihnya selalu 1, berapa pun x positif. Jadi X < Y untuk semua x yang diizinkan. Sebagai cek, x = 1 memberi X = 1/2 dan Y = 2/3.

A salah karena hasil perkalian silang X selalu lebih kecil 1.
C salah. Peserta yang menganggap "pembilang dan penyebut sama-sama ditambah 1, jadi nilainya tetap" akan memilih ini.
D salah. Ini kesalahan menambah 1 ke pecahannya, bukan ke pembilang dan penyebutnya. Pada x = 1, X + 1 = 3/2, sedangkan Y = 2/3.
E salah. Untuk x yang sangat besar, X dan Y memang hampir sama, sehingga peserta ragu. Namun perkalian silang menunjukkan Y selalu sedikit lebih besar.

Soal 10
Diketahui n bilangan bulat. Jika X = n² dan Y = n³, maka hubungan yang benar adalah...

A. X > Y
B. X < Y
C. X = Y
D. X ≥ Y
E. Hubungan X dan Y tidak dapat ditentukan

Lihat jawaban dan pembahasan

Jawaban: E

Pembahasan: Syaratnya hanya bilangan bulat, jadi nol dan bilangan negatif diizinkan. Uji angka kritis.

n = 2  -> X = 4, Y = 8   -> X < Y
n = 1  -> X = 1, Y = 1   -> X = Y
n = -1 -> X = 1, Y = -1  -> X > Y

Tiga nilai n memberi tiga hubungan berbeda, jadi hubungan X dan Y tidak dapat ditentukan. Di sini uji angka sudah cukup sebagai bukti, karena menemukan dua hasil yang berbeda sudah membuktikan jawaban E.

A salah karena untuk n = 2, X lebih kecil.
B salah. Peserta yang hanya mencoba bilangan positif lebih dari 1 akan memilih ini.
C salah karena hanya berlaku untuk n = 0 dan n = 1.
D salah. Peserta yang hanya mencoba 0 dan bilangan negatif akan mendapat X ≥ Y, padahal n = 2 membuat X < Y.

Ringkasan

Jawaban A, B, atau C harus berlaku untuk semua nilai yang diizinkan soal. Satu pengecualian saja membuat jawabannya E.
Sebelum menghitung, cari bagian yang sama untuk dicoret atau rumus yang memendekkan hitungan, misalnya a² - b² = (a - b)(a + b).
Untuk bentuk aljabar, hitung X - Y. Tanda selisihnya menentukan hubungan.
Pada 0 < x < 1 urutannya x³ < x² < x < √x, kebalikan dari bilangan lebih dari 1.
√k hanya punya satu nilai yang tidak negatif, sedangkan x² = k punya dua penyelesaian.
Uji angka dari setiap kelompok yang diizinkan: lebih dari 1, di antara 0 dan 1, nol, dan negatif. Jangan lupa angka 1.
Uji angka bisa membuktikan jawaban E, tetapi tidak bisa membuktikan A, B, atau C. Kuatkan dengan alasan umum.
Periksa opsi D dengan membagi X dengan Y. Kalau dua opsi tampak benar, ulangi hitungan.